Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (6 t)}{t^{3} - 27}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \cos (6 t)$ y $g (t) = t^{3} - 27$ .

$\frac{(t^{3} - 27) \frac{d}{d t} [\cos (6 t)] - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 6 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (u) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 t$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \frac{d}{d t} [t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \cdot 1) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} - 27$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $- 27$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 27$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + 0)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Suma $3 t^{2}$ y $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2})}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} (- 6 \sin (6 t)) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 27$ .

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Reordena los factores en $- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t) + 162 \sin (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$