Cálculo Ejemplos

$3 x e^{\cos (x)}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x e^{\cos (x)}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x e^{\cos (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{\cos (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{\cos (x)}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}] + e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$3 (x (e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (x (e^{\cos (x)} (- \sin (x))) + e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (e^{\cos (x)} (- \sin (x))) + e^{\cos (x)} \cdot 1)$

Paso 5.2

Multiplica $e^{\cos (x)}$ por $1$ .

$3 (x (e^{\cos (x)} (- \sin (x))) + e^{\cos (x)})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (e^{\cos (x)} (- \sin (x)))) + 3 e^{\cos (x)}$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x (e^{\cos (x)} \sin (x)) + 3 e^{\cos (x)}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$- 3 e^{\cos (x)} x \sin (x) + 3 e^{\cos (x)}$

Paso 6.4

Reordena los factores en $- 3 e^{\cos (x)} x \sin (x) + 3 e^{\cos (x)}$ .

$- 3 x e^{\cos (x)} \sin (x) + 3 e^{\cos (x)}$