Cálculo Ejemplos

$x \tan (2 \sqrt{x}) + 20$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \tan (2 \sqrt{x}) + 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \tan (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \tan (2 \sqrt{x})]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \tan (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (2 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.13

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.15

Cancela el factor común.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.16

Reescribe la expresión.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.17

Combina $\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.18

Combina $x$ y $\frac{\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.19

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.20

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.20.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.20.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 2.20.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.20.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.20.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.20.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.20.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 2.21

Multiplica $\tan (2 x^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Paso 3.2

Suma $x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}})$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}})$