Cálculo Ejemplos

$(x) (22 - 2 x) (22 - 2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Eleva $22 - 2 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} (22 - 2 x))]$

Paso 1.2

Eleva $22 - 2 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} {(22 - 2 x)}^{1})]$

Paso 1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{1 + 1}]$

Paso 1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{2}]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(22 - 2 x)}^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(22 - 2 x)}^{2}] + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 22 - 2 x$ .

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Paso 1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $22 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $22 - 2 x$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Diferencia.

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Paso 1.7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $22 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.2

Como $22$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $22$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (2 (22 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \cdot 1) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Paso 1.7.9

Multiplica ${(22 - 2 x)}^{2}$ por $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- 4 \cdot 22 - 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- 4 \cdot 22) + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.3

Combina los términos.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $- 4$ por $22$ .

$x \cdot - 88 + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.3.2

Mueve $- 88$ a la izquierda de $x$ .

$- 88 \cdot x + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$- 88 x + x (8 x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x^{1}) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 88 x + 8 x^{1 + 1} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$- 88 x + 8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Paso 1.8.4

Reordena los términos.

$8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2} - 88 x$

Paso 1.8.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.5.1

Reescribe ${(22 - 2 x)}^{2}$ como $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (22 - 2 x) (22 - 2 x) - 88 x$

Paso 1.8.5.2

Expande $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.8.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{2} + 22 (22 - 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Paso 1.8.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Paso 1.8.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Paso 1.8.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.8.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.5.3.1.1

Multiplica $22$ por $22$ .

$8 x^{2} + 484 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Paso 1.8.5.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $22$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Paso 1.8.5.3.1.3

Multiplica $22$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Paso 1.8.5.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 88 x$

Paso 1.8.5.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.8.5.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 88 x$

Paso 1.8.5.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 88 x$

Paso 1.8.5.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x + 4 x^{2} - 88 x$

Paso 1.8.5.3.2

Resta $44 x$ de $- 44 x$ .

$8 x^{2} + 484 - 88 x + 4 x^{2} - 88 x$

Paso 1.8.6

Suma $8 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 484 - 88 x - 88 x$

Paso 1.8.7

Resta $88 x$ de $- 88 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 484 - 176 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} + 484 - 176 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Paso 2.3

Como $484$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $484$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 176$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 176 x$ con respecto a $x$ es $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 0 - 176 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x + 0 - 176 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 176$ por $1$ .

$24 x + 0 - 176$

Paso 2.5

Suma $24 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 176$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x - 176$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Paso 3.2.3

Multiplica $24$ por $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 176$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 176$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $24$ y $0$ .

$f''' (x) = 24$

Paso 4

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 0$