Cálculo Ejemplos

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ es $f' (g (a)) g' (a)$ donde $f (a) = a^{4}$ y $g (a) = a + b$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a + b$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2.4

Como $b$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $b$ con respecto a $a$ es $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.2.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- {(a - b)}^{4}$ con respecto a $a$ es $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ es $f' (g (a)) g' (a)$ donde $f (a) = a^{4}$ y $g (a) = a - b$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $a - b$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Paso 1.3.5

Como $- b$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- b$ con respecto a $a$ es $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Paso 1.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Paso 1.3.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Paso 1.3.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Factoriza $4$ de $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Paso 1.4.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Paso 1.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Paso 1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1

Usa el teorema del binomio.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Paso 1.4.2.2

Usa el teorema del binomio.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Paso 1.4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Paso 1.4.2.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Paso 1.4.2.3.3

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Paso 1.4.2.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Paso 1.4.2.3.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Paso 1.4.2.3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Paso 1.4.2.3.7

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Paso 1.4.2.3.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Paso 1.4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Paso 1.4.2.5

Simplifica.

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Paso 1.4.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Paso 1.4.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Paso 1.4.2.5.3

Multiplica $- - b^{3}$ .

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Paso 1.4.2.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Paso 1.4.2.5.3.2

Multiplica $b^{3}$ por $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Paso 1.4.2.6

Elimina los paréntesis.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Paso 1.4.3

Combina los términos opuestos en $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

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Paso 1.4.3.1

Resta $a^{3}$ de $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Paso 1.4.3.2

Suma $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ y $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Paso 1.4.3.3

Resta $3 a b^{2}$ de $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Paso 1.4.3.4

Suma $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ y $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Paso 1.4.4

Suma $3 a^{2} b$ y $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Paso 1.4.5

Suma $b^{3}$ y $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Paso 1.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Paso 1.4.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Paso 1.4.8

Multiplica $6$ por $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Paso 2.1.2

Como $8 b^{3}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $8 b^{3}$ con respecto a $a$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

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Paso 2.2.1

Como $24 b$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $24 a^{2} b$ con respecto a $a$ es $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$0 + 48 b a$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Suma $0$ y $48 b a$ .

$48 b a$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $48 b$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $48 a b$ con respecto a $a$ es $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $48$ por $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Paso 4

Como $48 b$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $48 b$ con respecto a $a$ es $0$ .

$f^{4} (a) = 0$