Cálculo Ejemplos

$20 x^{\frac{7}{2}} - 700 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{\frac{7}{2}} - 700 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $7$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$20 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.8

Combina $20$ y $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{20 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.9

Multiplica $7$ por $20$ .

$\frac{140 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.10

Factoriza $2$ de $140 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{70 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.2.11.4

Divide $70 x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 700$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 700 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 700 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 700 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 700 (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 700$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 1400 x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 1400 x + 70 x^{\frac{5}{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1400 x + 70 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1400 x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1400 x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1400 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1400$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1400 x$ con respecto a $x$ es $- 1400 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 1400 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1400 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1400$ por $1$ .

$- 1400 + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $70$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $70 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $70 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$- 1400 + 70 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 2.3.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.3.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 1400 + 70 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.3.8

Combina $70$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- 1400 + \frac{70 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 2.3.9

Multiplica $5$ por $70$ .

$- 1400 + \frac{350 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.3.10

Factoriza $2$ de $350 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 2.3.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Paso 2.3.11.2

Cancela el factor común.

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.3

Reescribe la expresión.

$- 1400 + \frac{175 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Paso 2.3.11.4

Divide $175 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$- 1400 + 175 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 175 x^{\frac{3}{2}} - 1400$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $175 x^{\frac{3}{2}} - 1400$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $175$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $175 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $175 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$175 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.8

Combina $175$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{175 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.2.9

Multiplica $3$ por $175$ .

$\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 1400$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1400$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $0$ .

$f''' (x) = \frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $\frac{525}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{525}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{525}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{525}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.9

Multiplica $\frac{525}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{525 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.10

Multiplica.

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Paso 4.10.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{525 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Paso 4.10.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{525}{4 x^{\frac{1}{2}}}$