Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$4 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$4 \frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \frac{0}{0^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 2.3.5.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}$

Paso 2.3.5.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Paso 2.3.5.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$4 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$4 \cdot 2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \cdot 2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \cdot 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \cdot 2 \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 4.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 4.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \cdot 2 \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \cdot 2 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$4 \cdot 2 \frac{1}{2} \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 5.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$4 \cdot 2 \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 5.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \cdot 2 \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \cdot 2 \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $2$ de $4 \cdot 2$ .

$2 (2 \cdot 2) \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$2 (2 \cdot 2) \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 7.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ a $\sec (2 \cdot 0)$ .

$4 \sec (2 \cdot 0)$

Paso 7.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \sec (0)$

Paso 7.5

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 7.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$