Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x}$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + x \sqrt{x} + x (- \sqrt{x}) - {\sqrt{x}}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x + \sqrt{x}}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{1}}{x + \sqrt{x}}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x}{x + \sqrt{x}}$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.1.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 \cdot 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}$

Paso 4.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Paso 4.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Paso 4.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Paso 5

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$

Paso 6

Como su numerador no está acotado mientras que su denominador se acerca a un número constante, la fracción $\frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$ se acerca al infinito.

$\infty$