Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1}$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{25} 2^{i} + \sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{25} 2^{i}$ .

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Paso 2.1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2.2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 2.2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2^{i + 1}$ y $2^{i}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2^{i}$ de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$r = 2$

Paso 2.3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 2.3.1

Sustituye $1$ por $i$ en $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Paso 2.3.2

Evalúa el exponente.

$a = 2$

Paso 2.4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$2 \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $25$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $33554432$ .

$2 \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 2.5.1.3

Resta $33554432$ de $1$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 2.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 2}$

Paso 2.5.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (\frac{- 33554431}{- 1})$

Paso 2.5.3

Divide $- 33554431$ por $- 1$ .

$2 \cdot 33554431$

Paso 2.5.4

Multiplica $2$ por $33554431$ .

$67108862$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$ .

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Paso 3.1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 3.2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 3.2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{- 2^{i + 1 - 1}}{- 2^{i - 1}}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $2^{i + 1 - 1}$ y $2^{i - 1}$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $2^{i - 1}$ de $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Paso 3.2.2.2.2.4

Divide $2^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Paso 3.2.2.3

Suma $i$ y $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Paso 3.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Paso 3.2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Paso 3.2.2.5

Resta $i$ de $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Paso 3.2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = 2^{1}$

Paso 3.2.2.7

Evalúa el exponente.

$r = 2$

Paso 3.3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.3.1

Sustituye $1$ por $i$ en $- 2^{i - 1}$ .

$a = - 2^{1 - 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = - 2^{0}$

Paso 3.3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 1 \cdot 1$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a = - 1$

Paso 3.4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$- \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $25$ .

$- \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $33554432$ .

$- \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 3.5.1.3

Resta $33554432$ de $1$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 2}$

Paso 3.5.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{- 33554431}{- 1}$

Paso 3.5.3

Divide $- 33554431$ por $- 1$ .

$- 1 \cdot 33554431$

Paso 3.5.4

Multiplica $- 1$ por $33554431$ .

$- 33554431$

Paso 4

Suma los resultados de las sumas.

$67108862 - 33554431$

Paso 5

Resta $33554431$ de $67108862$ .

$33554431$