Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 2}^{5} \frac{1}{2 k (k + 1)}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.5

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.6

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.8

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 \cdot 5} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.9

Multiplica $8$ por $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Paso 2.1.10

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 (5 + 1)}$

Paso 2.1.11

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 \cdot 6}$

Paso 2.1.12

Multiplica $10$ por $6$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{10}{10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{1}{24}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{1}{24}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{1}{40}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{60}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{1}{40}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60}$

Paso 2.2.7

Multiplica $\frac{1}{60}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.8

Multiplica $\frac{1}{60}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $12 \cdot 10$ .

$\frac{10}{10 \cdot 12} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Paso 2.2.10

Multiplica $10$ por $12$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Paso 2.2.11

Reordena los factores de $24 \cdot 5$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{5 \cdot 24} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Paso 2.2.12

Multiplica $5$ por $24$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Paso 2.2.13

Reordena los factores de $40 \cdot 3$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{3 \cdot 40} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Paso 2.2.14

Multiplica $3$ por $40$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Paso 2.2.15

Reordena los factores de $60 \cdot 2$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{2 \cdot 60}$

Paso 2.2.16

Multiplica $2$ por $60$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{120}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 + 5 + 3 + 2}{120}$

Paso 2.4

Suma $10$ y $5$ .

$\frac{15 + 3 + 2}{120}$

Paso 2.5

Suma $15$ y $3$ .

$\frac{18 + 2}{120}$

Paso 2.6

Suma $18$ y $2$ .

$\frac{20}{120}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $20$ y $120$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza $20$ de $20$ .

$\frac{20 (1)}{120}$

Paso 2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $20$ de $120$ .

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Paso 2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Paso 2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$