Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Paso 1.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (3 x))}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 3 x))}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 lim_{x \to 0} x))}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 \cdot 0))}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Paso 1.3.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Paso 3.5.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 3.6.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{\cos (3 x)}$ y $\sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- 3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10

Combina $- 3$ y $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{- 3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot 1}$

Paso 3.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)})$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (3 \sin (3 x))}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 7.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.2.6.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.6.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.6.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.2.6.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Paso 7.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 7.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 7.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 7.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 7.1.3.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 7.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 7.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 7.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.3.6.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 7.1.3.6.2

Multiplica $\sin (3 \cdot 0)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Paso 7.1.3.6.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 7.1.3.6.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 7.1.3.6.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 7.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 7.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 7.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.9

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Paso 7.3.10

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 7.3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.11.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.14

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.15

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cdot \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 7.3.16

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Paso 7.3.17

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.11

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.13

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.14

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.15

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.16

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.17

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Paso 8.18

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

Paso 8.19

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

Paso 8.20

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

Paso 8.21

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.8

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.7

Multiplica $\cos (3 \cdot 0)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.8

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.9

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.1.10

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Paso 10.2.8

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (0)}$

Paso 10.2.9

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot 0}$

Paso 10.2.10

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0}$

Paso 10.2.11

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Paso 10.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9}$