Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Paso 1.3.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Paso 1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Paso 1.3.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Paso 1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Paso 1.3.6.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Paso 1.3.6.1.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Paso 1.3.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.6

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 \cos (6 x))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.4.7

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - \tan (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 3.6.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Paso 3.6.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

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Paso 3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (6 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}$

Paso 3.7.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Paso 3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Paso 3.7.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 3.7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1))}$

Paso 3.7.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \cdot 6)}$

Paso 3.7.6

Mueve $6$ a la izquierda de $\sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (6 \sec^{2} (6 x))}$

Paso 3.7.7

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $6 - 6 \cos (6 x)$ y $6 - 6 \sec^{2} (6 x)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Paso 4.2

Factoriza $6$ de $- 6 \cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) + 6 (- \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Paso 4.3

Factoriza $6$ de $6 (1) + 6 (- \cos (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Paso 4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Paso 4.4.2

Factoriza $6$ de $- 6 \sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 + 6 (- \sec^{2} (6 x))}$

Paso 4.4.3

Factoriza $6$ de $6 (1) + 6 (- \sec^{2} (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Paso 4.4.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.1.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.3.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Paso 5.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (6 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (6 x))}^{2}}$

Paso 5.1.3.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Paso 5.1.3.1.5

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 \cdot 0)}$

Paso 5.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.3.3.1

Reordena $1$ y $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) + 1}$

Paso 5.1.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0)) + 1}$

Paso 5.1.3.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}$

Paso 5.1.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0) - 1)}$

Paso 5.1.3.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{0}{- \tan^{2} (6 \cdot 0)}$

Paso 5.1.3.3.6

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Paso 5.1.3.3.7

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Paso 5.1.3.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Paso 5.1.3.3.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.3.10

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (6 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 6 \sin (6 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.4.7

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.5

Suma $0$ y $6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sec^{2} (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

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Paso 5.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sec^{2} (6 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]}$

Paso 5.3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (6 x)$ .

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Paso 5.3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Paso 5.3.8.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Paso 5.3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Paso 5.3.8.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 5.3.8.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Paso 5.3.8.3.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Paso 5.3.8.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Paso 5.3.8.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])))}$

Paso 5.3.8.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)))}$

Paso 5.3.8.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6))}$

Paso 5.3.8.7

Mueve $6$ a la izquierda de $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (6 \cdot (\sec (6 x) \tan (6 x))))}$

Paso 5.3.8.8

Multiplica $6$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x)))}$

Paso 5.3.8.9

Eleva $\sec (6 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec (6 x)) \tan (6 x))}$

Paso 5.3.8.10

Eleva $\sec (6 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec^{1} (6 x)) \tan (6 x))}$

Paso 5.3.8.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 {\sec (6 x)}^{1 + 1} \tan (6 x))}$

Paso 5.3.8.12

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x))}$

Paso 5.3.8.13

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Paso 5.3.9

Simplifica.

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Paso 5.3.9.1

Resta $12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Paso 5.3.9.2

Reescribe $\sec (6 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 {(\frac{1}{\cos (6 x)})}^{2} \tan (6 x)}$

Paso 5.3.9.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Paso 5.3.9.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Paso 5.3.9.5

Combina $- 12$ y $\frac{1}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{- 12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Paso 5.3.9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Paso 5.3.9.7

Reescribe $\tan (6 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}$

Paso 5.3.9.8

Multiplica $- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

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Paso 5.3.9.8.1

Multiplica $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ por $\frac{12}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Paso 5.3.9.8.2

Multiplica $\cos (6 x)$ por $\cos^{2} (6 x)$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.9.8.2.1

Multiplica $\cos (6 x)$ por $\cos^{2} (6 x)$ .

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Paso 5.3.9.8.2.1.1

Eleva $\cos (6 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{1} (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Paso 5.3.9.8.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{{\cos (6 x)}^{1 + 2}}}$

Paso 5.3.9.8.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{3} (6 x)}}$

Paso 5.3.9.9

Mueve $12$ a la izquierda de $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12 \sin (6 x)}{\cos^{3} (6 x)}}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) (- \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)})$

Paso 5.5

Combina factores.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Paso 5.5.2

Combina $\frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$ y $- 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)} \sin (6 x)$

Paso 5.5.3

Combina $\frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)}$ y $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Paso 5.6

Reduce.

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Paso 5.6.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $12$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $6$ de $\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{12 \sin (6 x)}$

Paso 5.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.1.2.1

Factoriza $6$ de $12 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Paso 5.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Paso 5.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Paso 5.6.2

Cancela el factor común de $\sin (6 x)$ .

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Paso 5.6.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1}{2}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x) \cdot - 1$

Paso 6.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x)$

Paso 6.3

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (6 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \cos (6 x))}^{3}$

Paso 6.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 6 x)$

Paso 6.5

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 lim_{x \to 0} x)$

Paso 7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Paso 8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Paso 8.3

Multiplica $6$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Paso 8.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Paso 8.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 8.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$