Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 8} \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Paso 7

Sustituye $t$ por $\frac{1}{x}$ y deja que $t$ se acerque a $\frac{1}{8}$ ya que $lim_{x \to 8} \frac{1}{x} = \frac{1}{8}$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Paso 8.3

Evalúa $\arctan (\frac{1}{8})$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499}{\frac{1}{x}}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{1}{64} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $0.12435499$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998) x$

Paso 9.3

Para escribir $0.24870998$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998 \cdot \frac{64}{64}) x$

Paso 9.4

Combina $0.24870998$ y $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + \frac{0.24870998 \cdot 64}{64}) x$

Paso 9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 0.24870998 \cdot 64}{64} x$

Paso 9.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.6.1

Multiplica $0.24870998$ por $64$ .

$\frac{1 + 15.9174393}{64} x$

Paso 9.6.2

Suma $1$ y $15.9174393$ .

$\frac{16.9174393}{64} x$

Paso 9.7

Divide $16.9174393$ por $64$ .

$0.26433498 x$