Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.5.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.9

Multiplica $\cos (3 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.10

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.11.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.12

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Paso 3.14

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Paso 3.15

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cdot \cos (5 x)}$

Paso 3.16

Multiplica $5$ por $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cos (5 x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 10

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 12

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 13

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 14

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 15.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 15.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16.1.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16.1.5

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16.1.7

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 16.2

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 16.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 16.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 16.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 16.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Paso 16.4

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$