Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${\sin (x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\sin (x)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\sin (x))}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Paso 3

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $e^{x \ln (\sin (x))}$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

Paso 3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Paso 3.3

Como $e^{0 \ln (0)}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Paso 5

Evalúa el límite derecho.

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Paso 5.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Paso 5.2

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \ln (\sin (x))$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Paso 5.3

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $x \ln (\sin (x))$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0$ .

$e^{0}$

Paso 5.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$

Paso 6

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$