Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Paso 1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Paso 1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Paso 3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Paso 3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 - e^{x}}$

Paso 3.9

Resta $e^{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{- e^{x}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Paso 7

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Paso 8

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Paso 9

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{0}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + e^{0}}{- e^{0}}$

Paso 12.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0 + e^{0}}{- e^{0}}$

Paso 12.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0 + 1}{- e^{0}}$

Paso 12.1.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{- e^{0}}$

Paso 12.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Paso 12.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Paso 12.4

Divide $1$ por $- 1$ .

$- 1$