Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{9^{x} - 5^{x}}{x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 9^{x} - 5^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 9^{x} - lim_{x \to 0} 5^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{9^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{9^{lim_{x \to 0} x} - 5^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{9^{0} - 5^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{9^{0} - 5^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.5.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{9^{x} - 5^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9^{x} - 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9^{x} - 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9^{x} - 5^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9^{x} \ln (9) + \frac{d}{d x} [- 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9^{x} \ln (9) - \frac{d}{d x} [5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9^{x} \ln (9) - (5^{x} \ln (5))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4.3

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{9^{x} \ln (9) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9^{x} \ln (9) - 5^{x} \ln (5)}{1}$

Paso 4

Divide $9^{x} \ln (9) - 5^{x} \ln (5)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 9^{x} \ln (9) - 5^{x} \ln (5)$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} 9^{x} \ln (9) - lim_{x \to 0} 5^{x} \ln (5)$

Paso 6

Mueve el término $\ln (9)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (9) lim_{x \to 0} 9^{x} - lim_{x \to 0} 5^{x} \ln (5)$

Paso 7

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (9) \cdot 9^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5^{x} \ln (5)$

Paso 8

Mueve el término $\ln (5)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (9) \cdot 9^{lim_{x \to 0} x} - \ln (5) lim_{x \to 0} 5^{x}$

Paso 9

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (9) \cdot 9^{lim_{x \to 0} x} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 0} x}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (9) \cdot 9^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 0} x}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (9) \cdot 9^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\ln (9) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Paso 11.1.2

Multiplica $\ln (9)$ por $1$ .

$\ln (9) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Paso 11.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\ln (9) - \ln (5) \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (9) - \ln (5)$

Paso 11.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{9}{5})$