Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{8 x^{4}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.7.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.7.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.2.7.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{8 lim_{x \to 0} x^{4}}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{8 {(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0^{4}}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0}$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{8 x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 3.5.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.5.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.5.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.5.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.5.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.5.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Suma $- \sin (x)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Paso 3.7

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{4}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{8 \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{8 (4 x^{3})}$

Paso 3.9

Multiplica $4$ por $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{32 x^{3}}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{32}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.4.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.2.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 5.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

Paso 5.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 5.3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 5.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 7.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 7.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 7.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

Paso 7.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Paso 7.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Paso 7.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Paso 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 7.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.5

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Paso 8

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 9

Como $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ y $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , aplica el teorema de la compresión.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{1}{32}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{32 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 10.1.2

Multiplica $32$ por $3$ .

$\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{1}{96}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{96 \cdot 2} \cdot 1$

Paso 10.2.2

Multiplica $96$ por $2$ .

$\frac{1}{192} \cdot 1$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{192}$ por $1$ .

$\frac{1}{192}$