Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$ como $e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})$ ; para ello, mueve $2 x + 1$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} (2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Paso 2.8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Paso 2.9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Paso 2.10

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Paso 2.11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5})}$

Paso 2.12

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5})}$

Paso 2.13

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Paso 4.2

Suma $16$ y $1$ .

$e^{17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Paso 4.3

Simplifica $17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})$ al mover $17$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

Paso 4.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $2$ por $8$ .

${(\frac{16 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

${(\frac{16 - 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Paso 4.5.3

Resta $3$ de $16$ .

${(\frac{13}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Paso 4.6

Simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $2$ por $8$ .

${(\frac{13}{16 + 5})}^{17}$

Paso 4.6.2

Suma $16$ y $5$ .

${(\frac{13}{21})}^{17}$

Paso 4.7

Aplica la regla del producto a $\frac{13}{21}$ .

$\frac{13^{17}}{21^{17}}$

Paso 4.8

Eleva $13$ a la potencia de $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{21^{17}}$

Paso 4.9

Eleva $21$ a la potencia de $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{30041942495081700000000}$

Paso 4.10

Cancela el factor común de $8650415919381340000$ y $30041942495081700000000$ .

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Paso 4.10.1

Factoriza $20000$ de $8650415919381340000$ .

$\frac{20000 (432520795969067)}{30041942495081700000000}$

Paso 4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.10.2.1

Factoriza $20000$ de $30041942495081700000000$ .

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Paso 4.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Paso 4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{432520795969067}{1502097124754085000}$