Cálculo Ejemplos

$\int {(x + \sqrt{x})}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + \sqrt{x})}^{2}$ como $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ .

$\int (x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x}) d x$

Paso 1.2

Expande $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x (x + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Paso 1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Paso 1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Paso 1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Paso 1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Paso 1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{1} d x$

Paso 1.3.1.2.5

Simplifica.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x d x$

Paso 1.3.2

Reordena los factores de $\sqrt{x} x$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + x \sqrt{x} + x d x$

Paso 1.3.3

Suma $x \sqrt{x}$ y $x \sqrt{x}$ .

$\int x \cdot x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Paso 2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 + 1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Paso 2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int x^{2} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Paso 2.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Paso 2.6

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + x d x$

Paso 2.6.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x d x$

Paso 2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + x d x$

Paso 2.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x d x$

Paso 2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x d x$

Paso 2.6.5

Suma $1$ y $2$ .

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{3}{2}} + x d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C$