Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

Paso 2

Reescribe $y^{5}$ como ${(y^{5})}^{1}$ .

$2 \int \frac{y^{4}}{{(y^{5})}^{1} + 1} d y$

Paso 3

Sea $u_{1} = y^{5}$ . Entonces $d u_{1} = 5 y^{4} d y$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = y^{4} d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = y^{5}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $y^{5}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 y^{4}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica.

$2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{5}$ .

$2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 5} d u_{1}$

Paso 4.3

Mueve $5$ a la izquierda de $u_{1} + 1$ .

$2 \int \frac{1}{5 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

Paso 6

Combina $\frac{1}{5}$ y $2$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 7

Sea $u_{2} = u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{5} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{2}{5} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} + 1$ .

$\frac{2}{5} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{5}$ .

$\frac{2}{5} \ln (| y^{5} + 1 |) + C$