Cálculo Ejemplos

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ como $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ .

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Paso 1.2

Expande $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{a}$ a la potencia de $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{a}$ a la potencia de $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{a}}^{2}$ como $a$ .

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Paso 1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a}$ como $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.2.5

Simplifica.

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Paso 1.3.1.6.2

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Paso 1.3.1.6.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 1.3.1.6.4

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Paso 1.3.1.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Paso 1.3.1.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Paso 1.3.1.7

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.3.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Paso 1.3.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Paso 1.3.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 1.3.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 1.3.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

Paso 1.3.1.7.5

Simplifica.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

Paso 1.3.2

Resta $\sqrt{a x}$ de $- \sqrt{x a}$ .

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Paso 1.3.2.1

Reordena $x$ y $a$ .

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

Paso 1.3.2.2

Resta $\sqrt{a x}$ de $- \sqrt{a x}$ .

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Paso 4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Paso 5

Sea $u = a x$ . Entonces $d u = a d x$ , de modo que $\frac{1}{a} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = a x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $a x$ .

$\frac{d}{d x} [a x]$

Paso 5.1.2

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $a$ por $1$ .

$a$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

Paso 6

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{a}$ .

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{a}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{a}$ fuera de la integral.

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{a}$ y $- 2$ .

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Paso 8.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Paso 8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a x$ .

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$