Cálculo Ejemplos

$\int {(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}} d x$

Paso 2

Sea $x = 4 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 4 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $16$ de $16$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $16$ de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $16$ de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.6

Aplica la regla del producto a $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.7

Eleva $16$ a la potencia de $3$ .

$\int \sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \sqrt{4096 \cos^{6} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.9

Reescribe $4096 \cos^{6} (t)$ como ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 64 \cos^{3} (t) (4 \cos (t)) d t$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $4$ por $64$ .

$\int 256 \cos^{3} (t) \cos (t) d t$

Paso 3.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 256 (\cos^{1} (t) \cos^{3} (t)) d t$

Paso 3.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 256 {\cos (t)}^{1 + 3} d t$

Paso 3.2.4

Suma $1$ y $3$ .

$\int 256 \cos^{4} (t) d t$

Paso 4

Dado que $256$ es constante con respecto a $t$ , mueve $256$ fuera de la integral.

$256 \int \cos^{4} (t) d t$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$256 \int {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Paso 5.2

Reescribe ${\cos (t)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$256 \int {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Paso 7

Sea $u_{1} = 2 t$ . Entonces $d u_{1} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$256 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $256$ .

$\frac{256}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $256$ y $2$ .

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $2$ de $256$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{128}{1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2.4

Divide $128$ por $1$ .

$128 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.2

Reescribe $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ como un producto.

$128 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Paso 9.3

Expande ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Paso 9.3.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.7

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.8

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.9

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.10

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.11

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.12

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.13

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.14

Multiplica $1$ por $1$ .

$128 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$128 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.16

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.17

Multiplica $2$ por $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.18

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.19

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.20

Multiplica $2$ por $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.21

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.22

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.23

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.24

Multiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.25

Multiplica $2$ por $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.26

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.27

Multiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.28

Multiplica $2$ por $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.29

Combina $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.30

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.31

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.32

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.33

Suma $1$ y $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.34

Suma $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ y $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.35

Combina $2$ y $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.36

Reordena $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.37

Reordena $\frac{1}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $2$ de $2 \cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Paso 9.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Paso 9.4.2.2

Cancela el factor común.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Paso 9.4.2.3

Reescribe la expresión.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$128 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$128 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 12

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$128 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$128 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$128 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 14.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$128 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 15

Divide la única integral en varias integrales.

$128 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 16

Aplica la regla de la constante.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 17

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 17.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 17.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 17.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 17.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 17.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 17.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 18

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 19

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 20

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 21

Aplica la regla de la constante.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 22

Combina $\frac{1}{4}$ y $u_{1}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 23

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})$

Paso 24

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Paso 25

Simplifica.

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Paso 25.1

Simplifica.

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 25.2

Simplifica.

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Paso 25.2.1

Para escribir $\frac{u_{1}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 25.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 25.2.2.1

Multiplica $\frac{u_{1}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 25.2.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 25.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$128 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 25.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$128 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 25.2.5

Suma $u_{1}$ y $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 26

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 26.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Paso 26.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Paso 26.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 26.4

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 t))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 26.5

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 27

Simplifica.

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Paso 27.1

Simplifica cada término.

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Paso 27.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 27.1.1.1

Factoriza $2$ de $3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 27.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 27.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 27.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 27.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$128 (\frac{3 (\arcsin (\frac{x}{4}))}{4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 27.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$128 (\frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Paso 27.2

Aplica la propiedad distributiva.

$128 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3

Simplifica.

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Paso 27.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 27.3.1.1

Factoriza $4$ de $128$ .

$4 (32) \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.1.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 32 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.1.3

Reescribe la expresión.

$32 (3 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.2

Multiplica $3$ por $32$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.3

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 27.3.3.1

Factoriza $16$ de $128$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 (8) \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.3.2

Cancela el factor común.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 \cdot 8 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.3.3

Reescribe la expresión.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 27.3.4.1

Factoriza $2$ de $128$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 (64) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.4.2

Cancela el factor común.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 \cdot 64 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Paso 27.3.4.3

Reescribe la expresión.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Paso 28

Reordena los términos.

$96 \arcsin (\frac{1}{4} x) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$