Cálculo Ejemplos

$\int \frac{10 z^{4} - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $10$ de $10 z^{4} - 20$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $10$ de $10 z^{4}$ .

$\int \frac{10 (z^{4}) - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Paso 1.1.2

Factoriza $10$ de $- 20$ .

$\int \frac{10 z^{4} + 10 \cdot - 2}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Paso 1.1.3

Factoriza $10$ de $10 z^{4} + 10 \cdot - 2$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Paso 1.2

Factoriza $z$ de $z^{5} - 10 z$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $z$ de $z^{5}$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} - 10 z}} d z$

Paso 1.2.2

Factoriza $z$ de $- 10 z$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} + z \cdot - 10}} d z$

Paso 1.2.3

Factoriza $z$ de $z \cdot z^{4} + z \cdot - 10$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Paso 2

Dado que $10$ es constante con respecto a $z$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int \frac{z^{4} - 2}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Paso 3

Sea $u = z (z^{4} - 10)$ . Entonces $d u = (5 z^{4} - 10) d z$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = (z^{4} - 2) d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = z (z^{4} - 10)$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $z (z^{4} - 10)$ .

$\frac{d}{d z} [z (z^{4} - 10)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = z^{4} - 10$ .

$z \frac{d}{d z} [z^{4} - 10] + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.3

Diferencia.

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Paso 3.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $z^{4} - 10$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$z (\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$z (4 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.3.3

Como $- 10$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $z$ es $0$ .

$z (4 z^{3} + 0) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.3.4

Suma $4 z^{3}$ y $0$ .

$z (4 z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.4

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$4 (z^{1} z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 z^{1 + 3} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.6

Suma $1$ y $3$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Paso 3.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \cdot 1$

Paso 3.1.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.8.1

Multiplica $z^{4} - 10$ por $1$ .

$4 z^{4} + z^{4} - 10$

Paso 3.1.8.2

Suma $4 z^{4}$ y $z^{4}$ .

$5 z^{4} - 10$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 5} d u$

Paso 4.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$10 \int \frac{1}{5 \sqrt{u}} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $10$ .

$\frac{10}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $10$ y $5$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 6.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 6.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 6.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z (z^{4} - 10)$ .

$4 {(z (z^{4} - 10))}^{\frac{1}{2}} + C$