Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec^{3} (x) d x$

Paso 1

Aplica la fórmula de reducción.

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec (x) d x$

Paso 2

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1.1

Evalúa $\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{- π}{2}$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Paso 3.1.2

Evalúa $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{- π}{2}$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Paso 3.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Paso 3.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

Paso 3.1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{2})$ es $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Paso 3.3.1

Divide $\frac{π}{2}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.6

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7

Simplifica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Paso 3.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.7.1.1

Multiplica $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Paso 3.3.7.1.1.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.1.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.1.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.7.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.7.1.2.4.1

Cancela el factor común.

Paso 3.3.7.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.7.1.3.1

Cancela el factor común.

Paso 3.3.7.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

Paso 3.3.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 3.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida