Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} + 7 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int 7 d x$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Paso 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 d x$

Paso 6.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 d x$

Paso 6.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 d x$

Paso 6.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 d x$

Paso 6.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C$