Cálculo Ejemplos

$\int (x^{2} + 1) e^{2 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2} + 1$ y $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x$

Paso 2.3

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x$

Paso 2.4

Combina $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ y $x$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Paso 2.5.2

Divide $e^{2 x} x$ por $1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 4.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Paso 6

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Paso 7

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe $(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 11.2.2

Para escribir $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 11.2.3

Combina $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 11.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{2 x}}{4}$ al numerador.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.3.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.4

Simplifica cada término.

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Paso 13.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.4.2

Multiplica $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

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Paso 13.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.4.2.2

Multiplica $\frac{e^{2 x}}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.5

Para escribir $- x e^{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.6

Combina $- x e^{2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.8

Simplifica el numerador.

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Paso 13.8.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Paso 13.8.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.8.1.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.8.1.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.10

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.12

Reescribe $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 13.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$