Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{\frac{- y}{2}} d y$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{3 y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 6

Dado que $5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - (5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 7.3

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 7.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 7.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 7.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{- \frac{1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Paso 9

Sea $u = - \frac{y}{2}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{2} d y$ , de modo que $- 2 d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = - \frac{y}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Paso 9.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{y}{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 10.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \cdot 2 d u$

Paso 10.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 2 e^{u} d u$

Paso 11

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (e^{u} + C)$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{u} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{y}{2}} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} \ln (| y |) - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{1}{2} y} + C$