Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \sqrt{x} + 8 x^{3} - e^{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 2} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 11

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 13

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 14

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Paso 16

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Paso 17

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int e^{x} d x$

Paso 18

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (e^{x} + C)$

Paso 19

Simplifica.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{4} - e^{x} + C$

Paso 20

Reordena los términos.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{4} - e^{x} + C$