Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} + \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{5 x} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 5 x$ . Entonces $d u_{1} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 4

Combina $\sqrt{u_{1}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 6.1.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{25} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 8

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{5 x}} d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = 5 x$ . Entonces $d u_{2} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 9.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 5} d u_{2}$

Paso 10.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{5 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 12.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 12.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 1 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 12.1.3

Multiplica $\int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 12.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 12.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 12.2.2

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 12.2.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 12.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 12.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 14.2

Simplifica.

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Paso 14.2.1

Multiplica $\frac{1}{25}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{25 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 14.2.2

Multiplica $25$ por $3$ .

$\frac{2}{75} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}} + C$