Cálculo Ejemplos

$\int (4 x - 12) e^{- 8 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 4 x - 12$ y $d v = e^{- 8 x}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $e^{- 8 x}$ y $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Paso 2.2

Combina $e^{- 8 x}$ y $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} \cdot 4 d x$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - 4 \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$

Paso 2.4

Combina $- 4$ y $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- 4 e^{- 8 x}}{8} d x$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $4$ de $- 4 e^{- 8 x}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{8} d x$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 (2)} d x$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 \cdot 2} d x$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- e^{- 8 x}}{2} d x$

Paso 2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - - \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$ por $1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{- 8 x} d x$

Paso 6

Sea $u = - 8 x$ . Entonces $d u = - 8 d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 8 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 6.1.2

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{8} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{2 \cdot 8} \int e^{u} d u$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Reescribe $(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ como $\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Paso 12.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 8 x$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$

Paso 14

Combina $e^{- 8 x}$ y $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{e^{- 8 x}}{16} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} x e^{- 8 x} + \frac{3}{2} e^{- 8 x} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$