Cálculo Ejemplos

$\int 2 e^{2 y} - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 y$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 4

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 6.3

Multiplica $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 7

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{- 2 y} d y$

Paso 9

Sea $u_{2} = - 2 y$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = - 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 9.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 10.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{u_{1}} + C - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 12

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$e^{u_{1}} + C + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{u_{1}} + C + 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común.

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{u_{1}} + C + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3

Multiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$e^{u_{1}} + C + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{1}} + C + e^{u_{2}} + C$

Paso 16

Simplifica.

$e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y$ .

$e^{2 y} + e^{u_{2}} + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 y$ .

$e^{2 y} + e^{- 2 y} + C$