Cálculo Ejemplos

$\int (3 - x) e^{- x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 3 - x$ y $d v = e^{- x}$ .

$(3 - x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cdot - 1 d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(3 - x) (- e^{- x}) - \int 1 e^{- x} d x$

Paso 2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$(3 - x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} d x$

Paso 3

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$(3 - x) (- e^{- x}) - \int - e^{u} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(3 - x) (- e^{- x}) - - \int e^{u} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(3 - x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{u} d u$

Paso 5.2

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$(3 - x) (- e^{- x}) + \int e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$(3 - x) (- e^{- x}) + e^{u} + C$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $(3 - x) (- e^{- x}) + e^{u} + C$ como $- 3 e^{- x} - 1 \cdot - 1 x e^{- x} + e^{u} + C$ .

$- 3 e^{- x} - 1 \cdot - 1 x e^{- x} + e^{u} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 e^{- x} + 1 x e^{- x} + e^{u} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- 3 e^{- x} + x e^{- x} + e^{u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- 3 e^{- x} + x e^{- x} + e^{- x} + C$

Paso 9

Suma $- 3 e^{- x}$ y $e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$