Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 4}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 4$ y $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 5 x - 4) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 5 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x (3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.7

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 + 0) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.9

Suma $6 x + 5$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = \frac{6 x \cdot x + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{6 (x \cdot x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 \cdot x - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $6 x^{2} - 3 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Resta $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.7

Suma $6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (6 x) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 \cdot x^{3} - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - (3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} + (- 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 4) x}{x^{4}}$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2}) x - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Paso 2.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 8 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.2

Resta $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 8 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.3.3

Resta $8 x$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x}{x^{4}}$

Paso 2.7.4

Combina los términos.

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.7.4.1.1

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 8}{x^{4}}$

Paso 2.7.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.4.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.7.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.7.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}}$

Paso 2.7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 8 (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.4

Multiplica $- 3$ por $- 8$ .

$f''' (x) = 24 x^{- 4}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 24 (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.5.2

Combina $24$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{24}{x^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{24}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1})$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{4 \cdot - 1})$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{- 4})$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 24 (- 4 x^{- 5})$

Paso 4.4

Multiplica $- 4$ por $24$ .

$f^{4} (x) = - 96 x^{- 5}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 96 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4.5.2

Combina los términos.

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Paso 4.5.2.1

Combina $- 96$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 96}{x^{5}}$

Paso 4.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{96}{x^{5}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{96}{x^{5}}$ .

$- \frac{96}{x^{5}}$