Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x$ y $g (x) = x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + 0)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Expande $(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.2.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.8

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.9

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.4

Resta $16 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.6

Expande $(- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x + 2) + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.2.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.7.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.7.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1.7.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.7.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.1.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.2

Suma $- 2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 0 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Suma $2 x^{2} - 20 x + 16$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Suma $2 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 16 + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2.4

Suma $- 20 x$ y $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Factoriza $4$ de $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.3.3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.3.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 1.3.4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{((x - 2) (x + 4))}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Aplica la regla del producto a $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ como ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ como ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$- 8 (- 3 {(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 8$ .

$24 ({(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + 0)$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} \cdot 1$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $24$ por $1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Combina $24$ y $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ como ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 4}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$24 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$24 (- 4 {(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 4$ por $24$ .

$- 96 ({(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + 0)$

Paso 4.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} \cdot 1$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $- 96$ por $1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 96 \frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$

Paso 4.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Combina $- 96$ y $\frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{- 96}{{(x + 4)}^{5}}$

Paso 4.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$