Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x$ .

$e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.2.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.2.5

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{9 x}$ .

$9 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$9 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 1.3.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 1.3.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 e^{9 x} + 7 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 1.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 1.3.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Paso 1.3.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Paso 1.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Paso 1.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) + 7 (- \sin^{2} (x))$

Paso 1.4.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = 9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 e^{9 x}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $9 x$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $9 x$ .

$9 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.6

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{9 x}$ .

$9 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.7

Multiplica $9$ por $9$ .

$81 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$81 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$81 e^{9 x} + 7 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina los términos.

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Paso 2.5.1.1

Reordena los factores de $- 14 \sin (x) \cos (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.5.1.2

Resta $14 \cos (x) \sin (x)$ de $- 14 \cos (x) \sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 28 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 28 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- 28 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 28 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 28 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81 e^{9 x}$ con respecto a $x$ es $81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

Paso 3.3.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \cdot 9)$

Paso 3.3.6

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{9 x}$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (9 \cdot e^{9 x})$

Paso 3.3.7

Multiplica $9$ por $81$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 28 \cos^{2} (x) - 28 (- \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

Paso 3.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 28$ .

$- 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x) + 729 e^{9 x}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = 729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Como $729$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $729 e^{9 x}$ con respecto a $x$ es $729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 4.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $9 x$ .

$729 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$729 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $9 x$ .

$729 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$729 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$729 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$729 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.6

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{9 x}$ .

$729 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.2.7

Multiplica $9$ por $729$ .

$6561 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 28 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$6561 e^{9 x} - 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 28$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ .

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Paso 4.4.1

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 4.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4.4.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \cos (x))$

Paso 4.4.4

Multiplica $2$ por $28$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \sin (x) \cos (x)$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Combina los términos.

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Paso 4.5.1.1

Reordena los factores de $56 \sin (x) \cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4.5.1.2

Suma $56 \cos (x) \sin (x)$ y $56 \cos (x) \sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 112 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4.5.2

Reordena los términos.

$f^{4} (x) = 112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$ .

$112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$