Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} (x^{2} - 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3} (x^{2} - 4)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x^{3} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$3 (x^{3} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{1} x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (x^{1 + 3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.3

Suma $1$ y $3$ .

$3 (x^{4} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$3 (2 \cdot x^{4} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (2 x^{4} + (x^{2} - 4) (3 x^{2}))$

Paso 1.7

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 4$ .

$3 (2 x^{4} + 3 \cdot (x^{2} - 4) x^{2})$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{4} + (3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2})$

Paso 1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 4 x^{2})$

Paso 1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{4}) + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Paso 1.8.4

Combina los términos.

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Paso 1.8.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Paso 1.8.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.8.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 3 (3 (x^{2} x^{2})) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Paso 1.8.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2 + 2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Paso 1.8.4.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{4}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Paso 1.8.4.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Paso 1.8.4.4

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (- 12 x^{2})$

Paso 1.8.4.5

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 36 x^{2}$

Paso 1.8.4.6

Suma $6 x^{4}$ y $9 x^{4}$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 36 x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{4} - 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$60 x^{3} - 36 (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 72 x$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $60 x^{3} - 72 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{3}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$180 x^{2} - 72 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 72$ por $1$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} - 72$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $180 x^{2} - 72$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $180$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $180 x^{2}$ con respecto a $x$ es $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72]$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $180$ .

$360 x + \frac{d}{d x} [- 72]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72$ con respecto a $x$ es $0$ .

$360 x + 0$

Paso 4.3.2

Suma $360 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 360 x$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $360 x$ .

$360 x$