Cálculo Ejemplos

$g (x) = 6 {(5 - x)}^{7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 {(5 - x)}^{7}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{7}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{7}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = 5 - x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - x$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$6 (7 u^{6} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - x$ .

$6 (7 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $7$ por $6$ .

$42 ({(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$42 {(5 - x)}^{6} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$42 {(5 - x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$42 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$42 {(5 - x)}^{6} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.6

Multiplica $- 1$ por $42$ .

$- 42 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 42 {(5 - x)}^{6} \cdot 1$

Paso 1.3.8

Multiplica $- 42$ por $1$ .

$f' (x) = - 42 {(5 - x)}^{6}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 42 {(5 - x)}^{6}$ con respecto a $x$ es $- 42 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$ .

$- 42 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 5 - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - x$ .

$- 42 (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- 42 (6 u^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - x$ .

$- 42 (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $6$ por $- 42$ .

$- 252 ({(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 252 {(5 - x)}^{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 252 {(5 - x)}^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 252 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 252 {(5 - x)}^{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 252$ .

$252 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$252 {(5 - x)}^{5} \cdot 1$

Paso 2.3.8

Multiplica $252$ por $1$ .

$f'' (x) = 252 {(5 - x)}^{5}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $252$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $252 {(5 - x)}^{5}$ con respecto a $x$ es $252 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{5}]$ .

$252 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{5}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 5 - x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - x$ .

$252 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$252 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - x$ .

$252 (5 {(5 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $5$ por $252$ .

$1260 ({(5 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1260 {(5 - x)}^{4} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1260 {(5 - x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$1260 {(5 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1260 {(5 - x)}^{4} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 1$ por $1260$ .

$- 1260 {(5 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1260 {(5 - x)}^{4} \cdot 1$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 1260$ por $1$ .

$f''' (x) = - 1260 {(5 - x)}^{4}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 1260$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1260 {(5 - x)}^{4}$ con respecto a $x$ es $- 1260 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{4}]$ .

$- 1260 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{4}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 5 - x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - x$ .

$- 1260 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 1260 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - x$ .

$- 1260 (4 {(5 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $4$ por $- 1260$ .

$- 5040 ({(5 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 5040 {(5 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5040 {(5 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 5040 {(5 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5040 {(5 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 5040$ .

$5040 {(5 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5040 {(5 - x)}^{3} \cdot 1$

Paso 4.3.8

Multiplica $5040$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 5040 {(5 - x)}^{3}$

Paso 5

La cuarta derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $5040 {(5 - x)}^{3}$ .

$5040 {(5 - x)}^{3}$