Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[10]{4 x + 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[10]{4 x + 5}$ como ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{10}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{1}{10}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{10}}$ y $g (x) = 4 x + 5$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{1}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 5$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.6.2

Resta $10$ de $1$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 9}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{10}$ y ${(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}$ .

$\frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.11

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.12

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 + 0)$

Paso 1.13

Simplifica los términos.

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Paso 1.13.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} \cdot 4$

Paso 1.13.2

Combina $\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$ y $4$ .

$\frac{4}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$

Paso 1.13.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$

Paso 1.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.14.1

Factoriza $2$ de $10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}$ .

$\frac{2 (2)}{2 (5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}$

Paso 1.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}$

Paso 1.14.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2}{5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$ como ${({(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{({(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $\frac{9}{10} \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Combina $\frac{9}{10}$ y $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{9 \cdot - 1}{10}}]$

Paso 2.1.2.2.2.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{- 9}{10}}]$

Paso 2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{9}{10}}$ y $g (x) = 4 x + 5$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{9}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{9}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} u^{- \frac{9}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 5$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 9 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 9 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.6.2

Resta $10$ de $- 9$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 19}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.8

Combina ${(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}$ y $\frac{9}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}} \cdot 9}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.9.1

Mueve $9$ a la izquierda de ${(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9 \cdot {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.9.2

Mueve ${(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{9}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ .

$- \frac{2 \cdot 9}{5 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 2.11

Multiplica.

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Paso 2.11.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$- \frac{18}{5 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 2.11.2

Multiplica $10$ por $5$ .

$- \frac{18}{50 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 2.12

Factoriza $2$ de $18$ .

$- \frac{2 (9)}{50 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $50 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}$ .

$- \frac{2 (9)}{2 (25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 9}{2 (25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 2.14

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.15

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.17

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.18

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 + 0)$

Paso 2.19

Combina fracciones.

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Paso 2.19.1

Suma $4$ y $0$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \cdot 4$

Paso 2.19.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Paso 2.19.3

Combina $- 4$ y $\frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Paso 2.19.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.19.4.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$\frac{- 36}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Paso 2.19.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{36}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $- \frac{36}{25}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{36}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}]$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}]$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ como ${({(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})}^{- 1}$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{({(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10} \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $\frac{19}{10} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.1

Combina $\frac{19}{10}$ y $- 1$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{19 \cdot - 1}{10}}]$

Paso 3.1.2.2.2.2

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{- 19}{10}}]$

Paso 3.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{19}{10}}$ y $g (x) = 4 x + 5$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 5$ .

$- \frac{36}{25} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{19}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{19}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} u^{- \frac{19}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 5$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 19 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 19 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.6.2

Resta $10$ de $- 19$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 29}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.8

Combina ${(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}$ y $\frac{19}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}} \cdot 19}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Mueve $19$ a la izquierda de ${(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19 \cdot {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.9.2

Mueve ${(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.9.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{36}{25}) (\frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.9.4

Multiplica $\frac{36}{25}$ por $1$ .

$\frac{36}{25} (\frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ por $\frac{36}{25}$ .

$\frac{19 \cdot 36}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}} \cdot 25} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 3.11

Multiplica.

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Paso 3.11.1

Multiplica $19$ por $36$ .

$\frac{684}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}} \cdot 25} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 3.11.2

Multiplica $25$ por $10$ .

$\frac{684}{250 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 3.12

Factoriza $2$ de $684$ .

$\frac{2 (342)}{250 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 3.13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.13.1

Factoriza $2$ de $250 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}$ .

$\frac{2 (342)}{2 (125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 3.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 342}{2 (125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 3.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 3.14

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 3.15

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 3.17

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 3.18

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 + 0)$

Paso 3.19

Combina fracciones.

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Paso 3.19.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \cdot 4$

Paso 3.19.2

Combina $\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ y $4$ .

$\frac{342 \cdot 4}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$

Paso 3.19.3

Multiplica $342$ por $4$ .

$f''' (x) = \frac{1368}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $\frac{1368}{125}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1368}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}]$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}]$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ como ${({(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{({(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})}^{- 1}]$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10} \cdot - 1}]$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{29}{10} \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.2.2.1

Combina $\frac{29}{10}$ y $- 1$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{29 \cdot - 1}{10}}]$

Paso 4.1.2.2.2.2

Multiplica $29$ por $- 1$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{- 29}{10}}]$

Paso 4.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{29}{10}}$ y $g (x) = 4 x + 5$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 5$ .

$\frac{1368}{125} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{29}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{29}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} u^{- \frac{29}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 5$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 29 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 29 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.6.2

Resta $10$ de $- 29$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 39}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.8

Combina ${(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}$ y $\frac{29}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}} \cdot 29}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.1

Mueve $29$ a la izquierda de ${(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29 \cdot {(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.9.2

Mueve ${(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{1368}{125}$ por $\frac{29}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$ .

$- \frac{1368 \cdot 29}{125 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 4.11

Multiplica.

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Paso 4.11.1

Multiplica $1368$ por $29$ .

$- \frac{39672}{125 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 4.11.2

Multiplica $10$ por $125$ .

$- \frac{39672}{1250 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 4.12

Factoriza $2$ de $39672$ .

$- \frac{2 (19836)}{1250 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 4.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.13.1

Factoriza $2$ de $1250 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}$ .

$- \frac{2 (19836)}{2 (625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 4.13.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 19836}{2 (625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 4.13.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 4.14

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.15

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.17

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.18

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 + 0)$

Paso 4.19

Combina fracciones.

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Paso 4.19.1

Suma $4$ y $0$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \cdot 4$

Paso 4.19.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$

Paso 4.19.3

Combina $- 4$ y $\frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$

Paso 4.19.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.19.4.1

Multiplica $- 4$ por $19836$ .

$\frac{- 79344}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$

Paso 4.19.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{79344}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$