Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\sin (x))$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los factores de $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Paso 1.4.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 1.4.3

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.4.4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$f' (x) = \cot (x)$

Paso 2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \csc^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3.4

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Paso 3.6

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Paso 3.7

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \csc^{2} (x)$ y $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 4.3

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 4.4

Multiplica $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 4.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 4.5.2

Reescribe $- 1 \csc^{4} (x)$ como $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 4.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Paso 4.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Paso 4.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Paso 4.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 4.8

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Paso 4.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Paso 4.10

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Paso 4.11

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Paso 4.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Paso 4.13

Suma $1$ y $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Paso 4.14

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Paso 4.15

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Paso 4.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Paso 4.17

Suma $1$ y $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Paso 4.18

Simplifica.

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Paso 4.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Paso 4.18.2

Combina los términos.

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Paso 4.18.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Paso 4.18.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Paso 4.18.3

Reordena los términos.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$