Cálculo Ejemplos

$y = \cos (x) + \tan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \sin (x) + \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 2.3.3

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Paso 2.3.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Paso 2.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \cos (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Paso 2.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \cos (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.2.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Paso 2.4.2.6

Combinar.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \cos (x)$

Paso 2.4.2.7

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.7.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 2.4.2.7.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x)$

Paso 2.4.2.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \cos (x)$

Paso 2.4.2.7.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \cos (x)$

Paso 2.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \cos (x)$

Paso 2.4.3.2

Separa las fracciones.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Paso 2.4.3.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.3.4

Multiplica por $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.3.5

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.3.6

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Paso 2.4.3.7

Divide $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{2} (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.5

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.6

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.6.2

Suma $2$ y $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.7

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.8

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.10

Suma $1$ y $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.11

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.12

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - - \sin (x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 1 \sin (x)$

Paso 3.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.4

Combina $4$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.7

Combinar.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.8

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.8.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.8.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.4.9

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \sin (x)$

Paso 3.4.4.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.4.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.4.12

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.5.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.2

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{4} (x)$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.3

Separa las fracciones.

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.4

Convierte de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.6

Multiplica por $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.7

Separa las fracciones.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.8

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{4}{1} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.9

Divide $4$ por $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.10

Multiplica por $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x) \cdot 1} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.11

Separa las fracciones.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Paso 3.4.5.12

Convierte de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ a $\sec^{4} (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 3.4.5.13

Divide $2$ por $1$ .

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

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Paso 4.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.2

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.4

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 4.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.6

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.7

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.1

Mueve $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.7.3

Suma $2$ y $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.9

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.10

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.13

Multiplica $\tan^{2} (x)$ por $\tan (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.13.1

Mueve $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.13.2

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.13.2.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.13.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.13.3

Suma $1$ y $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.2.14

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

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Paso 4.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sec^{4} (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.6

Suma $1$ y $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.3.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.2

Combina los términos.

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Paso 4.5.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.2.3

Suma $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ y $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.3.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$16 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$16 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$16 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.4

Combina $16$ y $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.6

Combinar.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.7

Multiplica $\cos^{4} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.3.7.1

Multiplica $\cos^{4} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 4.5.3.7.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos^{1} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 \sin (x)}{{\cos (x)}^{4 + 1}} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.7.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.8

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.9

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.10

Combina $8$ y $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.3.11

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x)$

Paso 4.5.3.12

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.3.13

Combinar.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.3.14

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.14.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{3 + 2}} + \cos (x)$

Paso 4.5.3.14.2

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.3.15

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.3.15.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.3.15.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.4.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{5} (x)$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.2

Separa las fracciones.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.4

Multiplica por $1$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x) \cdot 1} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.5

Separa las fracciones.

$\frac{16}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.6

Convierte de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ a $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{16}{1} \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.7

Divide $16$ por $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.8

Multiplica por $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.9

Factoriza $\cos^{3} (x)$ de $\cos^{5} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.10

Separa las fracciones.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} + \cos (x)$

Paso 4.5.4.11

Convierte de $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ a $\tan^{3} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.4.12

Multiplica $8$ por $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.4.13

Multiplica por $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.4.14

Separa las fracciones.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.4.15

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Paso 4.5.4.16

Divide $8$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$