Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x - 3}{2 x - 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x - 3$ y $g (x) = 2 x - 8$ .

$\frac{(2 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(2 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(2 x - 8) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x - 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 8) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 + 0)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) \cdot 2}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - 2 (2 x - 3)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x - 3)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Combina los términos opuestos en $2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Resta $2 (2 x)$ de $2 (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 0 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Suma $2 \cdot - 8$ y $0$ .

$\frac{2 \cdot - 8 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{- 16 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 16 + 6}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Suma $- 16$ y $6$ .

$\frac{- 10}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x - 8$ .

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Paso 1.3.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$- \frac{10}{{(2 (x) - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$- \frac{10}{{(2 x + 2 \cdot - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$- \frac{10}{{(2 (x - 4))}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Aplica la regla del producto a $2 (x - 4)$ .

$- \frac{10}{2^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{10}{4 {(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $10$ y $4$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$- \frac{2 (5)}{4 {(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $4 {(x - 4)}^{2}$ .

$- \frac{2 (5)}{2 (2 {(x - 4)}^{2})}$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 (2 {(x - 4)}^{2})}$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = - \frac{5}{2 {(x - 4)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- \frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{2 {(x - 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ como ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- \frac{5}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$- \frac{5}{2} (- 2 {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{5}{2}) ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 2.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10}{2} ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 2.3.2.3

Combina ${(x - 4)}^{- 3}$ y $\frac{10}{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{- 3} \cdot 10}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve $10$ a la izquierda de ${(x - 4)}^{- 3}$ .

$\frac{10 \cdot {(x - 4)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.3.2.4.2

Mueve ${(x - 4)}^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.3.2.5

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(x - 4)}^{3})} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (1 + 0)$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} \cdot 1$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}]$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ como ${({(x - 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$5 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$5 (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$- 15 ({(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 3.3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 15$ y $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ .

$\frac{- 15}{{(x - 4)}^{4}}$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{15}{{(x - 4)}^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{15}{{(x - 4)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}]$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ como ${({(x - 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{4})}^{- 1}]$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 4}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$- 15 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 15 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$- 15 (- 4 {(x - 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 4$ por $- 15$ .

$60 ({(x - 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (1 + 0)$

Paso 4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} \cdot 1$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $60$ por $1$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 \frac{1}{{(x - 4)}^{5}}$

Paso 4.4.2

Combina $60$ y $\frac{1}{{(x - 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{60}{{(x - 4)}^{5}}$