Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{3} d t$

Paso 1

Combina $\frac{1}{t^{2}}$ y ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Paso 2

Sea $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , de modo que $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Paso 2.1.4.2

Resta $\frac{1}{t^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$u_{lower} = 1 + 1 \cdot 2$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{upper} = 1 + \frac{1}{1}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide $1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 2$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{3}^{2} - u^{3} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{3}^{2} u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{3}^{2})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{3}^{2})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{u^{4}}{4}$ en $2$ y en $3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{3^{4}}{4})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Paso 6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{3^{4}}{4})$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{3^{4}}{4})$

Paso 6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{4}{1} - \frac{3^{4}}{4})$

Paso 6.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$- (4 - \frac{3^{4}}{4})$

Paso 6.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Paso 6.2.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Paso 6.2.5

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Paso 6.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Paso 6.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.7.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Paso 6.2.7.2

Resta $81$ de $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Paso 6.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{65}{4}$

Paso 6.2.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Paso 6.2.10

Multiplica $\frac{65}{4}$ por $1$ .

$\frac{65}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{65}{4}$

Forma decimal:

$16.25$

Forma de número mixto:

$16 \frac{1}{4}$

Paso 8