Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $\cos (t)$ de $\sin^{2} (t) \cos (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ a $\csc^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

Paso 4

Como la derivada de $- \cot (t)$ es $\csc^{2} (t)$ , la integral de $\csc^{2} (t)$ es $- \cot (t)$ .

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $- \cot (t)$ en $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ y en $\frac{π}{6}$ .

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

Paso 5.2

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ . Por lo tanto, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ es $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

Paso 6

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{6})$ es $\sqrt{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

Paso 7