Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

Paso 1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (x)$ a $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 4

Usa la identidad pitagórica para transformar $3$ en $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Resta $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ de $3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Paso 5.2

Suma $3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ y $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 6

Multiplica el argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combinar.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 7.2

Multiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Reescribe $\sec (\frac{x}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 8.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ de $5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 8.4.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 8.4.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 8.5

Reescribe $\sec (\frac{x}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Paso 8.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 8.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 8.8

Combina $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ y $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 9

Convierte de $\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ a $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 10

Sea $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 10.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

Paso 11.3

Combina $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ y $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Paso 11.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Paso 12

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Paso 13

Sea $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Paso 13.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 14

Reescribe $5$ como ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Combina $\frac{1}{\sqrt{5}}$ y $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ .

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Paso 16.2

Reescribe $2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ como $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ .

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Paso 16.3

Combina $2$ y $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (u_{1})$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Multiplica $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

Paso 18.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 18.2.1

Multiplica $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

Paso 18.2.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

Paso 18.2.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

Paso 18.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

Paso 18.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

Paso 18.2.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 18.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Paso 18.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Paso 18.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Paso 18.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Paso 18.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

Paso 18.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

Paso 18.3

Reordena los términos.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$