Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Paso 1

Divide la fracción $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ en dos fracciones.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Paso 2.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Paso 2.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $\tan^{2} (x)$ y $\tan (x)$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $\tan (x)$ de $\tan^{2} (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

Paso 2.4.2.4

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

Paso 4

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Paso 5

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

Paso 6.2.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$