Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x} + 2 x} d x$

Paso 1

Let $u_{1} = \sqrt{x}$ . Then $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Rewrite using $u_{1}$ and $d u$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = \sqrt{x}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.9

Simplifica.

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Paso 1.1.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 2

Sea $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Paso 4

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sqrt{x}$ .

$\ln (| 1 + \sqrt{x} |) + C$