Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + x - 2)}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza.

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.1.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{x ((x - 1) (x + 2))}$

Paso 1.1.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{x (x - 1) (x + 2)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.7

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.7.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide $A ((x - 1) (x + 2))$ por $1$ .

$1 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2

Expande $(x - 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$1 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$1 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.8.6.1

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.6.2

Divide $(B) (x (x + 2))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.7

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.8

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.9

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.10

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.12

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.1.8.12.1

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.12.2

Divide $(C) (x (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

Paso 1.1.8.13

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.8.14

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.8.15

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Paso 1.1.8.16

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

Paso 1.1.8.17

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

Paso 1.1.8.18

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.2

Mueve $B$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.3

Mueve $- 2 A$ .

$1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

Paso 1.1.9.4

Mueve $2 x B$ .

$1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Paso 1.1.9.5

Mueve $A x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 2 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$1 = - 2 A$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$1 = - 2 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = - 2 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 2 A = 1$ .

$- 2 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $- 2 A = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 2 A = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- \frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B + C$ por $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + 2 B - 1 C$ por $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - \frac{1}{2} + B + C$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{2} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B + C = 0$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$B + C = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2} - C$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$ por $\frac{1}{2} - C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2} - C) - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $- \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2} - C) - C$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Obtén el denominador común

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Paso 1.3.4.2.1.1.1

Escribe $2 (\frac{1}{2} - C)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1} \cdot \frac{2}{2} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.1.3

Multiplica $\frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.1.4

Escribe $- C$ como una fracción con el denominador $1$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C}{1}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.1.5

Multiplica $\frac{- C}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C}{1} \cdot \frac{2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{- C}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 = \frac{- 1 + 2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = \frac{- 1 + (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$0 = \frac{- 1 + (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$0 = \frac{- 1 + (1 + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{- 1 + (1 + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 = \frac{- 1 + (1 - 2 C) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = \frac{- 1 + 1 \cdot 2 - 2 C \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 2 C \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.4.2.1.4.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$0 = \frac{1 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2.1.4.2

Resta $2 C$ de $- 4 C$ .

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5

Resuelve $C$ en $0 = \frac{1 - 6 C}{2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 - 6 C = 0$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 1.3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 C = - 1$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.2

Divide cada término en $- 6 C = - 1$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 1.3.5.2.2.1

Divide cada término en $- 6 C = - 1$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 1.3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $\frac{1}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = \frac{1}{2} - C$ por $\frac{1}{6}$ .

$B = \frac{1}{2} - (\frac{1}{6})$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.6.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} - (\frac{1}{6})$ .

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Paso 1.3.6.2.1.1

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.6.2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$B = \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.2.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{3 - 1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.3.2

Resta $1$ de $3$ .

$B = \frac{2}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{2}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 1.3.6.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.6.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{6}, A = - \frac{1}{2}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Paso 1.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Paso 1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Paso 1.5.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

Paso 1.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Paso 1.5.7

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$\int - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 10.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + C$