Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Paso 1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ a $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$u + C + \int u^{2} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 8

Simplifica.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$