Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 9}} d t$

Paso 1

Sea $t = 3 \sec (t_{1})$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d t = 3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ es positiva.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1})) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t_{1})}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \tan^{2} (t_{1})$ como ${(3 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t_{1}))}^{2}}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3 \tan (t_{1})$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3 \tan (t_{1})$ de ${(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3 \tan (t_{1})$ de $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) {(3 \sec (t_{1}))}^{3}} (3 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}}$ y $\sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Paso 2.2.3.2

Aplica la regla del producto a $3 (\sec (t_{1}))$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{3^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 2.2.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4

Cancela el factor común de $\sec (t_{1})$ y $\sec^{3} (t_{1})$ .

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Paso 2.2.3.4.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.4.2.1

Factoriza $\sec (t_{1})$ de $27 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{27 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{27}$ es constante con respecto a $t_{1}$ , mueve $\frac{1}{27}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{27} \int \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ como ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Paso 4.3

Reescribe $\sec (t_{1})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Paso 4.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{27} \int {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Paso 4.5

Multiplica $\cos (t_{1})$ por $1$ .

$\frac{1}{27} \int \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Paso 5

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{27} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{1}{54} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{54} (\int d t_{1} + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Paso 10

Sea $u = 2 t_{1}$ . Entonces $d u = 2 d t_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 t_{1}$ . Obtén $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t_{1}$ , la derivada de $2 t_{1}$ con respecto a $t_{1}$ es $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ es $n {t_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{1}{54} (t_{1} + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $t_{1}$ con $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t_{1}$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t_{1})) + C$

Paso 15.3

Reemplaza todos los casos de $t_{1}$ con $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}) + C$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Paso 16.3

Combina $\frac{1}{54}$ y $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Paso 16.4

Multiplica $\frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

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Paso 16.4.1

Multiplica $\frac{1}{54}$ por $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{54 \cdot 2} + C$

Paso 16.4.2

Multiplica $54$ por $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{108} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{108} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} t)) + C$